התיכון ליתר וזווית של 30 מעלותגאומטריה 571 · שיעור 15

גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות

שיעור 15: התיכון ליתר וזווית של 30 מעלות

פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש

1התיכון ליתר שווה לחצי היתר (ומשפט הפוך)

2ניצב מול 30 שווה לחצי היתר (ומשפט הפוך)

35 תרגילים, כולל הוכחה ו־30 פעמיים

משפט + משפט הפוך

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

∢C = 90 , AB היתר

CM תיכון ליתר: AM = MB

M אמצע AB

📐 משפט: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר: CM = AM = MB = AB : 2

💡 לכן A , B , C על מעגל שמרכזו M – אמצע היתר

📐 משפט הפוך: אם תיכון שווה לחצי הצלע שאליה הוא יורד ← הזווית שמולה ישרה

📐 הגדרה

תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו

משפט + משפט הפוך

זווית של 30 מעלות במשולש ישר זווית

∢C = 90 , ∢A = 30

BC הוא הניצב שמול ∢A

הצלע שמול הזווית

📐 משפט: במשולש ישר זווית הניצב שמול זווית של 30 שווה לחצי היתר

BC = AB : 2 , כלומר אם BC = a אז AB = 2a

ניצב מול 30 = חצי יתר

📐 משפט הפוך: במשולש ישר זווית, ניצב ששווה לחצי היתר – הזווית שמולו 30

📐 משפט

במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר

תרגיל 1 · תיכון ליתר · קל

במשולש ABC: ∢C = 90 , CM תיכון ליתר, AB = 14
מצאו את CM , AM ו־MB

∢C = 90 , CM תיכון ליתר , AB = 14

נתון

CM = AB : 2

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר

CM = 14 : 2 = 7

מציבים

AM = MB = 14 : 2 = 7

M אמצע AB

✅ פתרון סופי: CM = AM = MB = 7

📐 משפט

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 הגדרה

תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו

תרגיל 2 · תיכון ליתר ומשוואה · בינוני

במשולש ABC: ∢C = 90 , CM תיכון ליתר
CM = 2x + 3 , AB = 6x − 2. מצאו את x , CM ו־AB

∢C = 90 , CM תיכון ליתר

נתון

AB = 2 · CM

התיכון ליתר שווה לחצי היתר

6x − 2 = 2(2x + 3)

מציבים

6x − 2 = 4x + 6

פותחים סוגריים

6x − 4x = 6 + 2 ⟹ 2x = 8

מעבירים אגפים וכינוס

x = 4

מחלקים ב־2

CM = 2 · 4 + 3 = 11 , AB = 6 · 4 − 2 = 22 ✔

מציבים x = 4 (22 = 2 · 11)

✅ פתרון סופי: x = 4 , CM = 11 , AB = 22

📐 משפט

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

📐 כלל

מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן

a + b = c ⟹ a = c − b

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

תרגיל 3 · 30 מעלות ותיכון ליתר · בינוני

במשולש ABC: ∢C = 90 , ∢A = 30 , AB = 16 , CM תיכון ליתר
הוכיחו ש־△CMB שווה צלעות ומצאו את היקפו

BC = AB : 2 = 16 : 2 = 8

ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר

CM = AB : 2 = 8

התיכון ליתר שווה לחצי היתר

MB = AB : 2 = 8

M אמצע AB

∢B = 180 − 90 − 30 = 60

סכום הזוויות במשולש

CM = MB = BC = 8 ← △CMB שווה צלעות

שלוש צלעות שוות

היקף △CMB = 8 + 8 + 8 = 24

סכום הצלעות

✅ פתרון סופי: △CMB שווה צלעות , היקפו 24

📐 משפט

במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר

📐 משפט

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר

📐 הגדרה

תיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שמולו

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט

במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות

תרגיל 4 · הוכחה של המשפט ההפוך · מורכב

במשולש ABC , M אמצע AB ו־CM = AM = MB
הוכיחו: ∢ACB = 90

CM = AM = MB

נתון

∢A = ∢ACM = x

△AMC שווה שוקיים (MA = MC) – זוויות הבסיס שוות

∢B = ∢BCM = y

△BMC שווה שוקיים (MB = MC) – זוויות הבסיס שוות

∢ACB = x + y

CM בתוך הזווית ∢ACB

x + y + (x + y) = 180 ⟹ 2(x + y) = 180

סכום הזוויות במשולש ABC

x + y = 90

מחלקים ב־2

∢ACB = 90

מציבים

✅ פתרון סופי: הוכחנו: ∢ACB = 90

📐 משפט

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

AB = AC ⟹ ∢B = ∢C

📐 כלל

אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 כלל

מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)

📐 כלל

מציבים את הערך שמצאנו בביטוי

תרגיל 5 · מורכב: 30 מעלות פעמיים

במשולש ABC: ∢ACB = 90 , ∢A = 30 , AB = 20
CD גובה ליתר. מצאו את BC , DB ו־AD

BC = AB : 2 = 20 : 2 = 10

ניצב מול זווית של 30 שווה לחצי היתר

∢B = 180 − 90 − 30 = 60

סכום הזוויות במשולש ABC

∢BCD = 180 − 90 − 60 = 30

סכום הזוויות במשולש BCD (∢CDB = 90)

DB = BC : 2 = 10 : 2 = 5

במשולש BCD: ניצב מול 30 שווה לחצי היתר BC

AD = AB − DB = 20 − 5 = 15

D על AB

✅ פתרון סופי: BC = 10 , DB = 5 , AD = 15

📐 משפט

במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 כלל

אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים

AB = AM + MB

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר

📐 משפט הפוך

אם התיכון שווה לחצי הצלע שאליה הוא יורד ← הזווית שמולה ישרה

📐 משפט

במשולש ישר זווית: הניצב שמול זווית של 30 מעלות שווה לחצי היתר

📐 משפט הפוך

במשולש ישר זווית: אם ניצב שווה לחצי היתר ← הזווית שמולו 30 מעלות

💡 במשולש ישר זווית מחפשים את אמצע היתר ואת הזווית של 30 – שניהם נותנים "חצי יתר".

בשיעור הבא: משפט חוצה הזווית במשולש

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא